В распространенных системах компьютерных алгебр (СКА) таких, как Wolfram Mathematica и Maple, встроены сотни специальных функций. И вот тут надо спросить: зачем? Потому что они очень нужны математикам, химикам, физикам и даже экономистам (хотя не все из них это понимают). С их помощью можно глубоко изучать природные и технические системы, например, узнать форму барабана по его звуку. Большинство специальных функций – дети обобщенной гипергеометрической функции, которая является активным объектом изучения примерно последние 150 лет. Несмотря на такую долгую историю, многие задачи остаются нерешенными до сих пор.
Цель нашего курса: как можно скорее познакомить студентов с текущими темами исследований и предоставить инструменты для выполнения собственных исследовательских проектов. Будет рассмотрено большое количество недавних результатов и открытых проблем. Cовременные исследования специальных функций обычно включают интенсивное использование систем символической алгебры, поэтому вы научитесь работать с компьютерными системами символьных вычислений. Кроме того, у вас появится замечательная возможность присоединиться к нашей научно-исследовательской группе по геометрической теории функций и профессионально заняться теоретическими исследованиями в области фундаментальной математики.
Требования к слушателям
- Знание основ математического анализа
- Владение стандартным курсом линейной алгебры
- Начальные знания теории групп
- Английский язык (уровень, достаточный для чтения статей)
- Умение работать с программами символьных вычислений подобных Wolfram Mathematica (приветствуется)
Темы занятий
Занятие 1. Обзор функциональных рядов и произведений. Основные сведения о степенных рядах, рядах Миттаг-Леффлера и обратных факториальных рядах. Выпуклость и логарифмическая выпуклость, основные свойства.
Занятие 2. Гамма-функция: разные определения и основные свойства, связь с бета-функцией и дзета-функцией Римана.
Занятие 3. Дополнительные свойства гамма-функции: логарифмическая выпуклость; логарифмическая производная гамма-функции и ее интегральное представление; асимптотический ряд Стирлинга. Открытая проблема: логарифмическая выпуклость отношения гамма-произведения.
Занятие 4. Бета-функция, интегралы, выражаемые через бета-функцию; неполная бета-функция и ее обратная (квантили бета-распределения) — их связь с вероятностью и недавними результатами о логарифмической вогнутости.
Занятие 5. Определение и основные свойства общих гипергеометрических рядов, область сходимости, формула дифференцирования, универсальные отношения смежности и формальный вывод обобщенного гипергеометрического дифференциального уравнения.
Занятие 6. Дополнительные свойства гипергеометрической функции Гаусса: интегральное представление Эйлера, преобразования Эйлера и Пфаффа, формулы суммирования Чу-Вандермонда и Гаусса. Элементарные функции в терминах гипергеометрической функции Гаусса.
Занятие 7. G-функция Мейера — определение и основные свойства. Подводные камни аналитического продолжения и деформации контура. Роль функции G в вероятностных, статистических и случайных матрицах, включая недавние результаты.
Занятие 8. Представление обобщенной гипергеометрической функции в виде обобщенного преобразования Стилтьеса G-функции Мейера. Новые свойства обобщенной гипергеометрической функции, полученные из такого представления. Открытые проблемы.
Занятие 9. Вполне монотонность отношения гамма функций и связь с положительностью G-функции Мейера. Обобщение на H-функции Фокса. Открытые задачи о нулях функций G и H.
Занятие 10. Обобщенные гипергеометрические функции: формулы суммирования и преобразования Заальшуца, Ватсона и Томэ и их связь с комбинаторикой. Новый класс формул преобразования Миллера и Париса.
Занятие 11. Группы преобразований обобщенных гипергеометрических функций с целыми сдвигами параметров, вычисленных в единице. Общий вид таких преобразований, вычисление параметров композиции и обращения с использованием СКА.
Записаться на курс можно по e-mail:
prilepkina.eg@dvfu.ru либо pril-elena@yandex.ru
либо написать на WhatsApp +79147908929